van WCP op wo jun 04, 2014 6:04 pmOmdat ik niet wil dat menig forumganger uit de titel een zekere vorm van arrogantie zou kunnen afleiden, schuif ik bij deze de schuld in de schoenen van Ura-senpai, die mij de titel gedeeltelijk heeft aangeraden en goedgekeurd.
Ongetwijfeld zullen de meesten onder jullie al gemerkt hebben dat ik vrij veel van mijn vrije (en niet-vrije) tijd spendeer aan het bedrijven en bestuderen van de wiskunde. Voor velen van jullie staat wiskunde synoniem met het hersenloos instuderen van regeltjes (ik denk bijvoorbeeld aan de rekenregels voor afgeleiden en integralen) die jullie zonder motivatie de keel ingeramd worden.
Maar niets is minder waar! De werkelijke toedracht van wiskunde is natuurlijk deze regels te ondersteunen met logische en liefst conceptuele (in tegenstelling tot kunstmatige) bewijzen waarbij men uitgaat van fundamentele waarheden, die men axioma's noemt (die hopelijk onderling geen tegenstrijdigheden opleveren). De bezorgde lezer vraagt zich terecht af of er een mechanisme is dat ons iets kan vertellen of een willekeurige familie van axioma's onderling strijdig zijn: dit is het onderwerp van de modeltheorie (waar ik niet verder op zal ingaan), een tak van de wiskunde die het onderwerp van deze openingspost heeft geïnspireerd.
Uiteraard zijn strijdigheden in het algemeen de ergste nachtmerrie van een zuiver wiskundige. De eenvoudige reden is dat je in een inconsistent systeem alles kan bewijzen. Beschouw immers een theorie T met een eindig aantal axioma's A1, A2, ..., An en definieer de waarheidswaarde van een logische formule (die gevormd wordt uit een disjunctie en conjunctie van deze axioma's: dit zijn de gekende logische AND- en OF-operatoren) als het beeld onder de afbeelding f : T ---> {0,1} waarbij een logische formule wordt toegekend aan zijn waarheidswaarde binnen het systeem. In een consistent systeem geldt dat f(x) =/= f(-x), waarbij het symbool -x de ontkenning van x voorstelt. We zeggen dat een logische formule x waar is als f(x) =1, en onwaar als f(x) = 0. Om de waarheids waarde van een willekeurige formule x te berekenen, volstaat het om de waarheidswaarde te kennen van de elementen waaruit ze is opgebouwd (deze rekenregels zal ik later in een mooie symbolische vorm noteren). Zo'n formule x is per definitie niets anders dan p_1 AND p_2 AND ... OR p'_(n-1) OR p'_n (mits een gepaste transpositie van de onderlinge relaties tussen de elementen, want p AND p' OR p'' is natuurlijk niet hetzelfde als p AND p'' OR p'), waarbij elke p_i een reeds bewezen logische formule is (een formule is bewijsbaar als zij een gevormd kan worden uit eerder bewezen formules). Onder deze voorwaarden vormen logische formules in een systeem een algebra, waar ik later verder op zal ingaan.
Tijd om weer de gedachten te vestigen. Onderstel dus dat x bewijsbaar is in T en dat f(x) = f(-x) = 1, voor een zekere logische formule x. We kunnen dus weer nieuwe formules bewijzen met deze formules. Stel dat y zo'n formule is en dat x y impliceert (dit noteren we als x ==> y). Het principe van contrapositie vertelt ons dat x ==> y <==> -y ==> -x. Aangezien bij onderstelling x altijd waar is als -x waar is, geldt -x <==> x ==> y. We kunnen dus ook bewijzen dat -y waar is!
Je zou denken dat strijdigheden gemakkelijk zijn in te zien, maar de geschiedenis leert ons dat het gevaar voor adders onder het gras altijd reëel is. Zo is bijvoorbeeld de verzameling R = {x : x is geen element van zichzelf}, waarbij de elementen van R zelf verzamelingen zijn (in een bepaald universum van verzamelingen), een ware revelatie op dat vlak. Laat ons immers eens kijken of R zichzelf bevat. Als dat niet zo zou zijn, geldt duidelijk dat R zichzelf bevat, per definitie van R. Maar dan bevat R wél zichzelf, en is ze dus toch geen element van R! Deze strijdigheid staat bekend als de paradox van Russell, die enkele jaren later werd opgelost door de axiomatisatie van de verzamelingenleer.
En het is juist één van die axioma's waar ik jullie attent op wil maken: het keuzeaxioma. Dit axioma zegt informeel dat voor een gegeven collectie verzamelingen van verzamelingen, er steeds een manier bestaat om uit elke verzameling één element te kiezen. Dit lijkt erg onschuldig, maar dit axioma geeft echter aanleiding tot een van de meest vreemde stellingen uit de wiskunde: de stelling van Banach-Tarski, en die luidt als volgt:
Een merkwaardig resultaat! Voor veel wiskundigen zijn contra-intuïtieve resultaten als deze stelling een reden om het keuzeaxioma niet aan te nemen: dit is volkomen legitiem, aangezien aangetoond is dat het keuzeaxioma niet bewijsbaar is uitgaande van de andere axioma's van ZFC (Dit zijn de axioma's van de moderne verzamelingenleer mét keuzeaxioma. Het axiomastelsel zonder het keuzeaxioma noemt men ZF.), maar dan krijg je dus wel een 'andere wiskunde'. Maar vele wiskundigen leggen problemen als deze naast zich neer, omdat het keuzeaxioma té intuïtief is om niet aan te nemen, en omdat het garant staat voor interessante stellingen die dan weer onwaar worden in ZF.
Zo, dit besluit de OP voor het wiskundetopic. Ze is nog niet helemaal af, maar ik wou ze toch al posten omdat ik jullie al een voorsmaakje wou geven waar er zoal kan gebeuren in de moderne wiskunde. (Mijn -hopelijk- volgende grote post zal een semi-rigoreuze wiskundige onderbouwing zijn van de westerse kwintencirkel bekend uit de muziektheorie.) De bedoeling van dit topic ken ik eigenlijk zelf niet. Het zou leuk zijn als er interessante reacties geplaatst worden en discussies over wiskunde plaatsvinden. Expliciete regels die niet behoren tot de algemene forumgeest heb ik niet in gedachten, dus ga je vrije loop en discussieer over wiskunde!
Ongetwijfeld zullen de meesten onder jullie al gemerkt hebben dat ik vrij veel van mijn vrije (en niet-vrije) tijd spendeer aan het bedrijven en bestuderen van de wiskunde. Voor velen van jullie staat wiskunde synoniem met het hersenloos instuderen van regeltjes (ik denk bijvoorbeeld aan de rekenregels voor afgeleiden en integralen) die jullie zonder motivatie de keel ingeramd worden.
Maar niets is minder waar! De werkelijke toedracht van wiskunde is natuurlijk deze regels te ondersteunen met logische en liefst conceptuele (in tegenstelling tot kunstmatige) bewijzen waarbij men uitgaat van fundamentele waarheden, die men axioma's noemt (die hopelijk onderling geen tegenstrijdigheden opleveren). De bezorgde lezer vraagt zich terecht af of er een mechanisme is dat ons iets kan vertellen of een willekeurige familie van axioma's onderling strijdig zijn: dit is het onderwerp van de modeltheorie (waar ik niet verder op zal ingaan), een tak van de wiskunde die het onderwerp van deze openingspost heeft geïnspireerd.
Uiteraard zijn strijdigheden in het algemeen de ergste nachtmerrie van een zuiver wiskundige. De eenvoudige reden is dat je in een inconsistent systeem alles kan bewijzen. Beschouw immers een theorie T met een eindig aantal axioma's A1, A2, ..., An en definieer de waarheidswaarde van een logische formule (die gevormd wordt uit een disjunctie en conjunctie van deze axioma's: dit zijn de gekende logische AND- en OF-operatoren) als het beeld onder de afbeelding f : T ---> {0,1} waarbij een logische formule wordt toegekend aan zijn waarheidswaarde binnen het systeem. In een consistent systeem geldt dat f(x) =/= f(-x), waarbij het symbool -x de ontkenning van x voorstelt. We zeggen dat een logische formule x waar is als f(x) =1, en onwaar als f(x) = 0. Om de waarheids waarde van een willekeurige formule x te berekenen, volstaat het om de waarheidswaarde te kennen van de elementen waaruit ze is opgebouwd (deze rekenregels zal ik later in een mooie symbolische vorm noteren). Zo'n formule x is per definitie niets anders dan p_1 AND p_2 AND ... OR p'_(n-1) OR p'_n (mits een gepaste transpositie van de onderlinge relaties tussen de elementen, want p AND p' OR p'' is natuurlijk niet hetzelfde als p AND p'' OR p'), waarbij elke p_i een reeds bewezen logische formule is (een formule is bewijsbaar als zij een gevormd kan worden uit eerder bewezen formules). Onder deze voorwaarden vormen logische formules in een systeem een algebra, waar ik later verder op zal ingaan.
Tijd om weer de gedachten te vestigen. Onderstel dus dat x bewijsbaar is in T en dat f(x) = f(-x) = 1, voor een zekere logische formule x. We kunnen dus weer nieuwe formules bewijzen met deze formules. Stel dat y zo'n formule is en dat x y impliceert (dit noteren we als x ==> y). Het principe van contrapositie vertelt ons dat x ==> y <==> -y ==> -x. Aangezien bij onderstelling x altijd waar is als -x waar is, geldt -x <==> x ==> y. We kunnen dus ook bewijzen dat -y waar is!
Je zou denken dat strijdigheden gemakkelijk zijn in te zien, maar de geschiedenis leert ons dat het gevaar voor adders onder het gras altijd reëel is. Zo is bijvoorbeeld de verzameling R = {x : x is geen element van zichzelf}, waarbij de elementen van R zelf verzamelingen zijn (in een bepaald universum van verzamelingen), een ware revelatie op dat vlak. Laat ons immers eens kijken of R zichzelf bevat. Als dat niet zo zou zijn, geldt duidelijk dat R zichzelf bevat, per definitie van R. Maar dan bevat R wél zichzelf, en is ze dus toch geen element van R! Deze strijdigheid staat bekend als de paradox van Russell, die enkele jaren later werd opgelost door de axiomatisatie van de verzamelingenleer.
En het is juist één van die axioma's waar ik jullie attent op wil maken: het keuzeaxioma. Dit axioma zegt informeel dat voor een gegeven collectie verzamelingen van verzamelingen, er steeds een manier bestaat om uit elke verzameling één element te kiezen. Dit lijkt erg onschuldig, maar dit axioma geeft echter aanleiding tot een van de meest vreemde stellingen uit de wiskunde: de stelling van Banach-Tarski, en die luidt als volgt:
Zij B een massieve bol in R^3. Dan kan B in vijf disjuncte stukken worden opgesplitst die na translaties en rotaties twee bollen oplevert die elk hetzelfde volume hebben als B.
Een merkwaardig resultaat! Voor veel wiskundigen zijn contra-intuïtieve resultaten als deze stelling een reden om het keuzeaxioma niet aan te nemen: dit is volkomen legitiem, aangezien aangetoond is dat het keuzeaxioma niet bewijsbaar is uitgaande van de andere axioma's van ZFC (Dit zijn de axioma's van de moderne verzamelingenleer mét keuzeaxioma. Het axiomastelsel zonder het keuzeaxioma noemt men ZF.), maar dan krijg je dus wel een 'andere wiskunde'. Maar vele wiskundigen leggen problemen als deze naast zich neer, omdat het keuzeaxioma té intuïtief is om niet aan te nemen, en omdat het garant staat voor interessante stellingen die dan weer onwaar worden in ZF.
Zo, dit besluit de OP voor het wiskundetopic. Ze is nog niet helemaal af, maar ik wou ze toch al posten omdat ik jullie al een voorsmaakje wou geven waar er zoal kan gebeuren in de moderne wiskunde. (Mijn -hopelijk- volgende grote post zal een semi-rigoreuze wiskundige onderbouwing zijn van de westerse kwintencirkel bekend uit de muziektheorie.) De bedoeling van dit topic ken ik eigenlijk zelf niet. Het zou leuk zijn als er interessante reacties geplaatst worden en discussies over wiskunde plaatsvinden. Expliciete regels die niet behoren tot de algemene forumgeest heb ik niet in gedachten, dus ga je vrije loop en discussieer over wiskunde!
Laatst aangepast door WCP op vr sep 12, 2014 12:17 am; in totaal 6 keer bewerkt
